Oha...du fragst Sachen

Bevor du das auf IMAP umstellst (ist die Vorrausetzung für den Push der Mails) erstelle dir mal eine Sicherung der gesamelten Werke aus Thunderbird (also die bisher aufgelaufenen alten Mails).
Ist einfach schon zu lange her, ich bin mir nicht so ganz sicher, nicht das da die alten Mails überschrieben werden und weg sind.
Aber dann, ab Umstellung auf IMAP laufen alle Mails auf dem Server, dem iPhone synchron, also alles eas du unterwegs bearbeitest passiert dann auch auf dem Server.
Keine Ahnung, wenn das auch im Thunderbird so laufen soll, da befrage mal bitte Google "IMAP Einstellungen für Thunderbird mit Yahoo...o.ä.".
Push von Mails, auf das iPhone, unterstützt in der kostenlosen Variante nur Yahoo und GoogleMail. Bei Anbietern wie GMX mußt du für solche Sachen einen kostenpflichtigen Zugang buchen, sonst gibt es da nur POP3. Also nur den Zeitgesteuerten Abruf von Mails aus dem Mailserver. Bearbeiten und löschen vom iPhone aus, auf dem Server, geht dann nicht.
(da bitte berichtigen, wenn es doch noch kostenlose Anbieter für IMAP Unterstützung mit iPhone geben sollte)
Die Variante bei mir.
Ich habe mir eine Weiterleitung von Yahoo zu GoogleMail eingerichtet. Auf dem iPhone unter "Exchange" das GoogleMail Konto eingerichtet. Für Outlook die Einstellungen zu IMAP von GoogleMail besorgt, gibt Anleitungen im Netz (wird bei Thunderbird ähnlich sein, denk ich).
Jetzt laufen Mails, Kontakte und Termine synchron auf iPhone und Outlook über den Server von GoogleMail (da ist natürlich auch immer der gleiche Stand, ich seh dort nur nie nach...das wird alles per iPhone&Pad bearbeitet, selbst den Rechner nutze ich fast nie für sowas) Ist für mich die ideale Lösung, dazu kostenlos...
Natürlich könntest du das auch über "MobileMe" von Apple machen, hat auch noch deutlich mehr Funktionsumfang. Nur eine Jahresgebühr von 79,-Euro...nööö, nicht für mich...
Gruß, Freddie